Передача сигналов модуляции интенсивности света в аналоговых волоконно-оптических линиях связи

Статьи

1Щербаков В.В., 1Солодков А.Ф., 2Задерновский А.А.

1Центр волоконно-оптических систем передачи информации, http://www.centervospi.ru
117342, г. Москва, Российская Федерация

2Московский технологический университет (МИРЭА), http://www.mirea.ru
119454, г. Москва, Российская Федерация

РЭНСИТ | 2016 | ТОМ 8 | НОМЕР 1

1. ВВЕДЕНИЕ

Волоконно-оптическая связь является одним из самых распространенных способов передачи информации в современном мире. В большинстве волоконно-оптических линий связи (ВОЛС) используются цифровые схемы 1передачи информации. Однако, простейшие аналоговые системы с СВЧ модуляцией интенсивности лазерного излучения на входе в оптоволокно (прямой модуляцией посредством варьирования инжекционного тока полупроводникового лазера или внешней модуляцией с помощью модулятора), транспортировкой оптического сигнала по волокну и прямым детектированием оптического сигнала с помощью фотодиода на выходе из оптоволокна, остаются востребованными для различных применений. Среди них, например, бортовые ВОЛС специального назначения, позиционно разнесенные системы радиолокации, антенные системы, удаленные от пунктов управления и обработки информации и другие. При этом, использование именно аналоговых ВОЛС в таких системах часто оказывается не только безальтернативным, но и надежным и экономически выгодным решением.

Вместе с тем, у аналоговых ВОЛС есть значительные недостатки. К наиболее существенным из них относятся линейные и нелинейные искажения выходного сигнала. Линейные искажения проявляются в неравномерности частотной характеристики, а именно в подавлении сигнала (вплоть до уровня шума) на выходе из волокна при определенных частотах модуляции [1-4]. Такое поведение сигнала является типичным для ВОЛС с использованием стандартного одномодового оптоволокна и одночастотного лазера с длиной волны 1550 нм и обусловлено дисперсией групповой скорости электромагнитных волн в волокне. Возможные методы компенсации таких искажений обсуждаются в работах [5-8].

При больших плотностях мощности излучения в оптоволокне заметную роль начинают играть нелинейно-оптические явления, приводящие к разнообразным нелинейным искажениям передаваемых сигналов [9]. Причиной таких явлений является изменение свойств материала оптоволокна под действием распространяющегося в нем света большой интенсивности. Дисперсия групповой скорости электромагнитных волн в волокне и эффект частотного чирпа [10-12] лазерного излучения приводят к нелинейным искажениям особого рода. Такие нелинейные искажения не связаны с мощностью передаваемого сигнала и имеют место даже при малых интенсивностях лазерного излучения. Дисперсионные нелинейные искажения проявляются в том, что в сигнале фототока приемника излучения на выходе из волокна, кроме гармоники на частоте модуляции, обнаруживаются и высшие гармоники этой частоты.

В данной работе представлены теоретические и экспериментальные результаты исследования передачи сигналов в аналоговых волоконно-оптических линиях связи с прямой или внешней модуляцией интенсивности лазерного излучения и прямым детектированием оптических сигналов с помощью фотодиода на выходе из оптоволокна. Последовательно рассмотрены все этапы прохождения сигнала. Сначала преобразование входного электрического сигнала в оптический сигнал модуляции интенсивности света источника. Затем транспортировка оптического сигнала в одномодовом волокне с хроматической дисперсией и, наконец, обратное преобразование оптического сигнала в электрический при его прямом детектировании с помощью фотодиода на выходе из волокна. Подробно исследуется влияние частотного чирпа излучения на линейные и нелинейные дисперсионные искажения сигнала. Для нескольких ВОЛС различной протяженности с прямой модуляцией интенсивности света лазера экспериментально получена зависимость относительной мощности оптического сигнала на выходе из волокна от частоты модуляции. Экспериментально и теоретически исследуется относительный вклад высших гармоник частоты модуляции. Производится сравнение дисперсионных нелинейных искажений сигнала с использованием двух разных источников излучения: одночастотного лазера с прямой модуляцией интенсивности излучения (с чирпом) и одночастотного лазера с внешним электрооптическим модулятором (без чирпа).

Следует отметить, что при теоретическом исследовании дисперсионных искажений обычно применяется либо численный анализ [1, 13], либо довольно сложный математический аппарат [14], затрудняющий (из-за сложности математических преобразований) получение простых аналитических выражений, пригодных для инженерного проектирования. Данная работа призвана восполнить этот пробел. В статье получены простые аналитические выражения для частот модуляции с минимальной или с максимальной мощностью сигнала на выходе из оптоволокна, а также для частот, при которых следует ожидать минимальных дисперсионных нелинейных искажений.

2. ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ПРИ ПРЯМОЙ МОДУЛЯЦИИ ИНТЕНСИВНОСТИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

2.1. Преобразование электрического сигнала в оптический сигнал

Fig. 1. Watt - ampere characteristic of a semiconductor laser.
Рис. 1. Ватт-амперная характеристика полупроводникового лазера.

 Модуляция инжекционного тока полупроводникового лазера является наиболее простым способом преобразования электрического сигнала в оптический. В современных инжекционных лазерах в частотном диапазоне модуляции до 35 ГГц такое преобразование обычно происходит с минимальными нелинейными искажениями, а ватт-амперная характеристика (рис. 1) в надпороговом режиме генерации при умеренных мощностях излучения хорошо описывается линейной функцией. Поэтому, гармонический электрический сигнал модуляции тока

I = I0[1 + mcos(ωmt + φm)] (1)

с глубиной модуляции m и током смещения I0, который выводит лазер на линейный участок ватт-амперной характеристики в рабочую точку с мощностью излучения P0, преобразуется в оптический сигнал модуляции мощности излучения лазера

P = P0[1 + mcos(ωmt + φm)] (2)

с такой же циклической частотой ωm и фазой φm.

Можно представить себе, что соответствующая электромагнитная волна излучения с напряженностью электрического поля E, частотой ω0 и начальной фазой φ0, будет модулирована следующим образом

(3)

Это выражение может быть разложено в ряд по m. Если при малых глубинах модуляции m0 ± ωm, что характерно для амплитудной модуляции.

Следует отметить, что в (3) не учтен эффект частотного чирпа [10] – возникновение непреднамеренной фазовой (а следовательно и частотной) модуляции электромагнитной волны излучения лазера при варьировании тока накачки. Действительно, изменение концентрации неравновесных носителей при модуляции тока инжекции приводит к периодическому изменению показателя преломления активной области и, следовательно, к модуляции частоты лазерного излучения. Эффект частотного чирпа принято записывать в форме зависимости мгновенной частоты ω от мощности P лазерного излучения. А именно [10-12],

(4)

где α называется фактором Генри, а kкоэффициентом адиабатического чирпа. Из (4) видно, что частота несущей волны излучения лазера в рабочей точке ватт-амперной характеристики равна ω0 = ωth + (α/2)kP0 и отличается от частоты лазерного излучения на пороге генерации ωth на величину (α/2)ωc, где ωc = kP0 называется характеристической частотой адиабатического чирпа. Вследствие чирпа фаза φ0 в выражении для напряженности электрического поля (3) уже не будет постоянной и должна быть заменена на функцию Φ(t), определяемую из соотношения

(5)

Типичные значения параметров чирпа для одночастотных DFB InGaAsP лазеров (длина волны λ0 = 1550 нм) таковы [12]: α заключено в пределах от 2 до 4, а характеристическая частота адиабатического чирпа fc = ωc/2π находится в пределах от 1 до 3 ГГц при мощности излучения P0 = 1 – 2 мВт.

Интегрирование (5) дает следующее выражение для фазы

Φ(t) = Msin(ωmt + φm + ψm) + φ0, (6)

где φ0 константа интегрирования, не зависящая от времени, и

(7)

это амплитуда фазовой модуляции, а ψm дополнительный сдвиг фазы модуляции относительно фазы сигнала φm, причем ctgψm = ωcm.

С учетом частотного чирпа электромагнитная волна (3) может быть представлена при малых глубинах модуляции m << 1 в виде

(8)

Спектральное представление такой волны имеет вид

(8)

где

(10)

и может быть получено с помощью известного разложения Якоби-Ангера (Jacobi-Anger expansion) [15] по функциям Бесселя первого рода Jn порядка n. Видно, что спектр чирпованной электромагнитной волны содержит частоту ω0 несущей волны и бесконечное количество боковых частот ω0 + nωm, где n = ±1, ±2, ±3..., сдвинутых влево и вправо с интервалом равным частоте модуляции ωm.

2.2. Транспортировка оптического сигнала в оптоволокне

Как известно, электромагнитное поле моды оптического волокна имеет вид E = E0(r,φ)ei(ωt-βz), где β – постоянная распространения волны с частотой ω (мы пренебрегаем затуханием). При одинаковом типе распределения электромагнитного поля в поперечном сечении волокна, E0(r,φ), характерном для одномодового волокна, в нем могут распространяться волны с различной частотой. Хроматическая дисперсия этих волн, выражающаяся в зависимости постоянной распространения β от частоты ω, приводит к искажению сигнала на выходе из волокна.

В окрестности частоты ω0 несущей волны функция β(ω) может быть представлена в виде степенного ряда β(ω) = β0 + β1(ω – ω0) + (β2/2)(ω – ω0)2 + ..., где β0 постоянная распространения на частоте несущей волны, коэффициент β1 = 1/u равен обратной величине групповой скорости сигнала, u = dω/dβ, на частоте несущей волны и коэффициент β2 определяется дисперсией групповой скорости электромагнитных волн в волокне. Он связан с так называемым коэффициентом дисперсии волокна D известным соотношением [9] β2=-λ02D/2πc, где c – скорость света в вакууме, λ0 – длина волны излучения лазера. Типичные значения коэффициента D на длине волны 1550 нм составляют (16 – 18) пс/(нм км).

При прохождении волокна длиной L каждая спектральная компонента в (9) приобретает свой набег фазы равный –βL. Так, для компоненты с частотой ω0 + nωm он составляет

-βL=-β0L-β1mL-1/2β2n2ωm2L-... .

Следовательно, на выходе из оптоволокна имеем электромагнитную волну в виде

(11)

где

θ = πc(ωm0)2DL (12)

это параметр транспортировки оптического сигнала по волокну.

2.3. Фототок приемника излучения

Фототок I(t), регистрируемый детектором излучения на выходе из волокна, пропорционален квадрату модуля напряженности электрического поля E(t) (11). Запишем его в виде

(13)

где

(14)

это комплексная амплитуда фототока гармоники с частотой nωm и R чувствительность фотодетектора на длине волны излучения лазера. Используем при вычислении (14) теорему Графа о суммировании бесселевых функций (Graf's addition theorem) [15], которую для цели нашего расчета перепишем в виде

где комплексное число 3izeγ есть сумма двух других комплексных чисел z1e и -z2e-iβ. В результате, в первом порядке по m получим выражение [14]

(15)

где

Un = 2Msinnθ. (16)

Сравним фототок, вызываемый излучением на входе и на выходе из волокна. На входе в волокно L = 0 и, следовательно, θ (12) и Un (16) тоже равны нулю. Учитывая тогда в (15), что J0(0) = 1, а остальные функции Бесселя равны нулю в начале координат, приходим к выражению

I(t) = RP0[1 + mcos(ωmt + φm)]. (17)

Видно, что спектр фототока имеет вклад на нулевой частоте (постоянный ток) и на двух боковых частотах +ωm и –ωm. Как и ожидалось, фототок воспроизводит исходную токовую модуляцию (1).

На выходе из волокна фототок приемника излучения (13) содержит вклад на нулевой частоте (постоянный ток) I0 = RP0, а также, вообще говоря, и на всех частотах nωm, где n = ±1, ±2, ±3.... При этом сигнал приходит с запаздыванием на L/u, где u – групповая скорость. В частности, при n = 1 имеем следующее выражение для комплексной амплитуды фототока (15)

(18)

Сравнение (18) с соответствующей комплексной амплитудой фототока излучения частоты ωm на входе в волокно, mRP0/2 (17), дает выражение для передаточной функции сигнала

(19)

по волокну длиной L на частоте модуляции ωm. Выделяя амплитуду и фазу передаточной функции (19), H(ωm,L) = |H(ωm,L)|eiχ, запишем фототок на частоте модуляции ωm как

I(t) = RP0m|H(ωm,L)|cos[ωm(t – L/u) + φm +χ].

Видно, что модуль передаточной функции (19) определяет амплитуду сигнала фотодетектора на выходе из волокна.
Рассмотрим некоторые частные случаи. Если частотного чирпа у лазерного источника нет, то амплитуда фазовой модуляции M (7) равна нулю, и, следовательно, U1 = 0. В этом случае модуль передаточной функции (19) равен |H(ωm,L)| = |cosθ| [1, 2]. С учетом (12) тогда видно, что сигналы с частотами, определяемыми из условия θ = π/2 + lπ, где l= 0, 1, 2, 3..., имеют на выходе из волокна амплитуду равную нулю.

При слабом чирпе и, следовательно, малых U1 в степенных разложениях бесселевых функций в (18), можно ограничиться только первыми слагаемыми. Модуль передаточной функции в этой области может быть записан в виде [16-18]

|H(ωm,L)| = |cosθ – α(1 – iωc/ωm)sinθ|. (20)

Зависимость 10lg|H(ωm,L)|2 (то есть, функция |H(ωm,L)|2 (20), выраженная в децибелах) от частоты модуляции fm = ωm/2π представляет собой частотную характеристику аналоговой ВОЛС.

Fig. 2. Plot of the intensity modulation response of an analog fiber-optic link with direct modulation of laser light intensity and direct detection of the optical signal.
Рис. 2. Расчетная частотная характеристика аналоговой ВОЛС с прямой модуляцией интенсивности света лазера и прямым детектированием фототока излучения на выходе из оптоволокна.

На рис. 2 показан типичный расчетный вид такой характеристики для длины волокна L = 10 км. При этом приняты следующие значения параметров чирпа α = 2, ωс/2π = 2 ГГц и коэффициента дисперсии волокна D = 17 пс/(нм км). Длине волны излучения лазера 1550 нм соответствует частота f0 = ω0/2π = 193,414 ТГц.
Для экстремумов функции |H(ωm,L)|2 можно получить следующее выражение

(21)

При заданной длине волокна L это выражение вместе с (12) определяет в неявном виде частоту экстремумов мощности сигнала. Как видно из рис. 2, для частот в области экстремумов обычно выполняется неравенство (ωcm)2 < < 1 и, поэтому, этим слагаемым в (21) можно пренебречь. В этом случае можно получить более простое выражение для определения экстремумов рассматриваемой функции, а именно θ = –arctgα + lπ/2 с целыми положительными l, причем при нечетных lбудут локальные минимумы, а при четных lлокальные максимумы. Квадрат модуля передаточной функции в минимумах равен

(22)

а в максимумах

(23)

Отметим также, что можно получить аналитические выражения для нулей функции на рис. 2 (в этих точках модуль передаточной функции (20) равен единице). Решение соответствующего тригонометрического уравнения содержит два набора корней: для нечетных нулей на рис. 2 имеем sinθ = 0 (откуда θ = lπ с целыми неотрицательными l), а для четных нулей получаем

(24)

Также как и в формуле (21), слагаемым (ωc/ωm)2 в (24) можно пренебречь. Тогда из соотношения (24) для четных нулей получаем условие θ = –2arctgα + lπ с целыми положительными l.

2.4. Нелинейные искажения сигнала

При больших плотностях мощности излучения в оптоволокне заметную роль начинают играть нелинейно-оптические явления [9], приводящие к нелинейным искажениям передаваемых сигналов. Причиной таких явлений является изменение свойств вещества под действием распространяющегося в нем света большой интенсивности. Влияние оптической нелинейности становится заметным при уровнях мощности излучения превышающих примерно 10 мВт. В первую очередь это относится к вынужденному рассеянию Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ) (stimulated Brillouin scattering (SBS)), в то время как порог мощности для вынужденного комбинационного (рамановского) рассеяния (ВКР) (stimulated Raman scattering (SRS)) значительно выше и составляет примерно 1 Вт.
Дисперсия групповой скорости электромагнитных волн в оптоволокне приводит к нелинейным искажениям особого рода. Такие искажения не связаны мощностью транслируемого сигнала и имеют место даже при малых интенсивностях лазерного излучения. Действительно, сравним фототок, вызываемый излучением на входе и на выходе из волокна. Фототок излучения на входе в волокно, в соответствии с (17), является гармоническим электрическим сигналом на частоте ωm. Как видно из выражения (13) с комплексными амплитудами (15), спектр фототока приемника излучения на выходе из волокна содержит, кроме гармоники на частоте сигнала ωm, также и высшие гармоники этой частоты. Другими словами, при транспортировке сигнала по волокну возникают его нелинейные искажения.
Важно подчеркнуть, что мы рассматриваем среду оптоволокна как линейную, а причиной нелинейных искажений является дисперсия групповой скорости электромагнитных волн. При этом наличие (вследствие частотного чирпа) в спектре входящей электромагнитной волны (9), кроме частоты ω0 несущей волны, бесконечного количества боковых частот ω0 + nωm, где n = ±1, ±2, ±3..., еще не означает нелинейности сигнала фототока. Фазовые соотношения между спектральными компонентами во входящей электромагнитной волне (9) таковы, что фототок (17) является гармоническим электрическим сигналом. При транспортировке оптического сигнала по волокну вследствие дисперсии возникают дополнительные фазовые сдвиги боковых частот относительно частоты несущей волны, из-за чего в электромагнитной волне (11) на выходе из диспергирующего волокна спектральные компоненты складываются в иных, по сравнению с входящей электромагнитной волной (9), фазовых соотношениях. В результате, фототок детектора излучения на выходе из волокна приобретает нелинейные искажения. Принципиальным отличием дисперсионных нелинейных искажений является то, что они возникают в спектре огибающей, а не в спектре несущей электромагнитной волны, как это было бы при распространении волн через нелинейную среду.

С другой стороны, если бы частотного чирпа не было, то амплитуда фазовой модуляции M (7) и, следовательно, Un (16) были бы равны нулю. Учитывая тогда в (15), что J0(0) = 1, а остальные функции Бесселя c номерами n ≠ 0 обращаются в начале координат в ноль, получаем фототок приемника выходного излучения в виде гармонического сигнала без дисперсионных нелинейных искажений (в первом порядке по глубине модуляции m). При этом, линейные искажения выходного сигнала, обусловленные дисперсией электромагнитных волн в оптоволокне, остаются и определяются передаточной функцией H(ωm,L) с модулем равным |cosθ|.
Интересно отметить, что в нечетных нулях функции 10lg|H(ωm,L)|2 на рис. 2, когда sinθ = 0 (откуда θ = lπ с целыми неотрицательными l), все комплексные амплитуды (15), кроме нулевой с n = 0 (постоянный ток) и первой с n = 1, обращаются в ноль. Таким образом, трансляция гармонических сигналов с частотами

(25)

где l= 1, 2, 3..., не сопровождается нелинейным искажениям (в первом порядке по глубине модуляции m). При этом, модуль передаточной функции для таких сигналов равен единице и, следовательно, амплитуды сигнала фототока, вызываемого излучением на входе и на выходе из волокна, равны друг другу (без учета затухания в волокне). Необходимо, однако, учесть, что неравномерность амплитудно-частотной характеристики (см. рис. 2) в окрестности частот (25) оказывается максимальной и в этой области будут наибольшие линейные искажения сигнала. Для параметров ВОЛС, использованных при построении графика на рис. 2, получаем следующую оценку fm1 = ωm1/2π = 27.93 ГГц и fm2 = 39.49 ГГц.

Обычно, основной вклад в нелинейные искажения сигнала фототока дают вторая и третья гармоники. При определенных частотах входного сигнала вклады этих гармоник пропадают (в первом порядке по глубине модуляции m). Действительно, как видно из (15), комплексная амплитуда второй гармоники обращается в ноль при sin2θ = 0 (откуда θ = lπ/2 с целыми неотрицательными l), а для третьей гармоники аналогичное условие выглядит как sin3θ = 0 (откуда θ = lπ/3 с целыми неотрицательными l). Для параметров ВОЛС, использованных при построении графика на рис. 2, получаем следующую оценку: fm1(2)m1(2)/2π= 19.75 ГГц и fm2(2)= 27.93 ГГц (при этих частотах пропадает вторая гармоника) и fm1(3)m1(3)/2π= 16.13 ГГц и fm2(3)= 22.80 ГГц (при этих частотах пропадает третья гармоника).

Из рис. 2 видно, что наиболее привлекательной областью функционирования ВОЛС с рассматриваемыми параметрами является область частот 19÷23 ГГц. В этой области частот преобразование модулирующего электрического сигнала в оптический происходит с относительно небольшими нелинейными искажениями. В этой области происходит дисперсионное увеличение мощности сигнала на частоте модуляции на выходе из волокна. Эта область характеризуется относительно небольшими линейными искажениями сигнала. Наконец, в этой области лежат частоты модуляции, при которых в выходном сигнале фототока приемника излучения ослаблены вторая и третья гармоники (fm1(2)= 19.75 ГГц и fm2(3)= 22.80 ГГц, соответственно) и, следовательно, можно минимизировать нелинейные искажения сигнала.

3. ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ ПРИ ВНЕШНЕЙ МОДУЛЯЦИИ ИНТЕНСИВНОСТИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

3.1. Модулятор Маха-Цендера

В основе работы большинства оптических модуляторов лежит электрооптический эффект [19], состоящий в изменении показателя преломления n и появлении двулучепреломления у некоторых кристаллов (KDP - дигидрофосфат калия KH2PO4, титанат бария BaTiO3, ниобат лития LiNbO3, танталат лития LiTaO3 и др.) под действием электрического поля Ê. Для классификации электрооптического эффекта разложим функцию n(Ê) в степенной ряд

, (26)

где an=(dnn/dÊn)|E=0. Если третьим слагаемым этого ряда можно пренебречь, то n оказывается линейной функцией напряженности электрического поля Ê (эффект Поккельса). Эффект Поккельса наблюдается в кристаллах, не обладающих центром симметрии решетки. В кристаллах с центром симметрии коэффициент a1 = 0 и на первый план в (26) выходит зависимость от Ê2 (эффект Керра). Электрооптический эффект практически безынерционен (быстродействие порядка 10−10÷10−11 с) благодаря чему верхний предел частоты модуляции в принципе может достигать 100 ГГц (на практике, у современных модуляторов ширина полосы модуляции по уровню –3дБ составляет 40–50 ГГц). Мы рассмотрим подробнее электрооптический модулятор интенсивности лазерного излучения, основанный на интерферометре Маха-Цендера.

Fig. 3. Schematic diagram of the dual-drive Mach–Zehnder modulator.
Рис. 3. Схема модулятора Маха-Цендера с двумя управляющими напряжениями.

Принципиальная схема модулятора Маха-Цендера показана на рис. 3. Модулятор включает в себя монокристаллическую подложку (чаще всего из ниобата лития) и сформированную на ней путем термодиффузии титана систему канальных оптических волноводов с одним входом и одним выходом. Входной оптический канал расщепляется на два независимых волновода, создавая пространственное разделение входного лазерного излучения на два одинаковых пучка света, которые затем сводятся вместе. На подложке по обеим сторонам волноводов размещены электроды, которые создают электрическое поле, проникающее в сечения каждого из волноводов. Излучение должно быть поляризовано в направлении напряженности этого электрического поля. Ориентация кристалла подложки обеспечивает возникновение линейного поперечного электрооптического эффекта Поккельса. При приложении управляющего электрического напряжения к электродам создается разность фаз между расщепленными световыми пучками, а в результате их соединения в выходном канале происходит интерференция. Интенсивность света на выходе модулятора зависит от величины созданной разности фаз, которая в свою очередь определяется величиной управляющих напряжений в плечах интерферометра (dual-drive Mach–Zehnder modulator).

Входная электромагнитная волна с частотой ω0 и амплитудой E0 разделяется в модуляторе с симметричной геометрией волноводов (рис. 3) на две волны с равными амплитудами E0/2. На выходе из модулятора получаем

(27)

Изменение фаз φ1 и φ2 при прохождении каждой волны по своему волноводу длиной L и толщиной d определяется управляющими напряжениями U1 и U2 . Вследствие линейности эффекта Поккельса, при изменении направления управляющего поля Ê на противоположное, будет меняться на противоположный и знак изменения показателя преломления. Поэтому,

(28)
(29)

Для количественной характеристики эффекта Поккельса в модуляторе с заданной геометрией используется напряжение U1 = U2 = Uπ, при котором разность фаз (28) и (29) вследствие действия электрического поля будет равна π. При таком напряжении электромагнитные волны на выходе интерферометра гасят друг друга, а интенсивность света на выходе равна нулю. Напряжение Uπ является специфическим для каждого устройства и называется полуволновым напряжением модулятора. С использованием этого параметра электромагнитная волна (27) принимает вид

(30)

При варьировании управляющих напряжений U1 и U2 электромагнитная волна (30) оказывается модулированной не только по амплитуде, но и по фазе. Таким образом, излучение на выходе из модулятора подвержено частотному чирпу [20-22]. Видно, однако, что при одинаковых управляющих напряжениях U1 = U2 = U частного чирпа не будет и это является важным преимуществом внешней модуляции интенсивности по сравнению с прямой модуляцией. При этом электромагнитная волна (30) принимает вид

(31)

а интенсивность света на выходе модулятора изменяется по закону (мы пренебрегаем вносимыми потерями)

P=P0cos2[(ϕ12)/2]=P0cos2(π/2 U/Uπ) (32)

Зависимость относительной интенсивности света P/P0 на выходе интерферометра от нормированного напряжения U/Uπ показана на рис. 4.
Пусть нормированное управляющее напряжение модулировано по гармоническому закону

U/Uπ = u0 + ucos(ωmt + φm), (33)

с нормированным постоянным напряжением смещения u0, нормированной амплитудой модуляции u, частотой ωm и начальной фазой φm.

Спектральное представление сигнала модуляции интенсивности света (32) на выходе из модулятора

(34)

показывает наличие гармоник не только на частоте сигнала ωm, но и, вообще говоря, на всех кратных частотах. Таким образом, в отличие от прямой модуляции интенсивности, оптический сигнал с помощью модулятора Маха-Цендера оказывается нелинейным.
Степень нелинейности можно уменьшить посредством выбора рабочей точки модулятора. Действительно, при нормированном напряжении смещения u0 = l+ 1/2, где l= 0, ±1, ±2, ±3... (квадратурные рабочие точки) все четные гармоники в (34) пропадают и в выходном сигнале модуляции интенсивности (34) присутствуют только составляющая на частоте модуляции ωm и все высшие нечетные гармоники этой частоты. Мощности этих гармоник при нормированной амплитуде модуляции, например, u = 1/2 (что соответствует 100% модуляции при напряжении смещения u0 = ±1/2) пропорциональны J1(π/2) = 0.567, J3(π/2) = 6.894·10-2 и J5(π/2) =2.240·10-3, то есть мощность третьей гармоники составляет –9.15 дБ от мощности основной гармоники, а пятой гармоники –24.03 дБ. При u = 1/4 получаем J1(π/4) = 0.363, J3(π/4) = 9.696·10-3, J5(π/4) =7.566·10-5 и, соответственно, мощность третьей гармоники теперь составляет –15.73 дБ, а пятой гармоники лишь –36.8 дБ. Видно таким образом, что при πu < 1 в (34) можно ограничиться только основной гармоникой. В этом приближении интенсивность света на выходе из модулятора сводится к

P = P0[1/2 + (–1)l+1J1(πu)cos(ωmt + φm)]. (35)

причем при четных lсигнал модуляции интенсивности света находится в противофазе с электрическим сигналом модуляции напряжения (33), а при нечетных lэти сигналы оказываются синфазными (рис. 4).

Fig. 4. Modulation characteristic of Mach–Zehnder modulator: dependence of the relative light intensity P/P0 versus the normalized drive voltage U/Uπ.
Рис. 4. Зависимость относительной интенсивности света на выходе интерферометра P/P0 от нормированного напряжения U/Uπ.

 Сравнение рис. 4 с рис. 1 указывает на важную отличительную черту внешней модуляции лазерного излучения. Мощность сигнала модуляции на выходе модулятора Маха-Цендера пропорциональна мощности лазерного излучения P0, тогда как мощность сигнала при прямой модуляции не зависит от мощности лазера и определяется дифференциальной квантовой эффективностью лазера (laser slope efficiency).

На практике, полуволновое напряжение модулятора Uπ подвержено дрейфу и поэтому напряжение смещения U0 должно постоянно корректироваться с помощью специального контура управления [23] для того, чтобы поддерживать функционирование модулятора в нужной рабочей точке. Отсутствие четных гармоник при U0 = (l + 1/2)Uπ может быть использовано для необходимой подстройки напряжения смещения [24]. Такая подстройка обычно осуществляется посредством программируемого источника напряжения с регулировкой, направленной на подавление второй гармоники сигнала модуляции интенсивности света на выходе модулятора.

3.2. Транспортировка оптического сигнала и фототок приемника излучения

Передача оптического сигнала модуляции интенсивности (34) по оптоволокну может быть рассмотрена так же, как это было сделано в разделе 2.2. При модулирующем напряжении (33) электромагнитная волна (31) на выходе из модулятора (на входе в оптоволокно) может быть представлена в виде спектральной суммы (9) с коэффициентами

(36)

На выходе из волокна длиной L эта сумма, вследствие дисперсии электромагнитных волн в оптоволокне, трансформируется к виду (11).
Фототок I(t) (13), регистрируемый приемником излучения на выходе из волокна, пропорционален квадрату модуля напряженности электрического поля E(t) (11) с коэффициентами (36). Соответствующие комплексные амплитуды I(nωm) различных гармоник фототока приемника излучения могут быть вычислены с помощью теоремы Графа о суммировании бесселевых функций. Они имеют вид

I(nωm)=R(P0/2)[(-1)nJn(πu sinπθ)+cos(πu0)inJn(πucosnθ)]

для четных n,

(37)

I(nωm)=R(P0/2)isin(πu0)inJn(πucosnθ)

для нечетных n.

Отметим, что в квадратурных рабочих точках с u0 = l+ 1/2, где l= 0, ±1, ±2, ±3..., фототок приемника выходного излучения содержит как четные, так и нечетные гармоники основной частоты ωm, несмотря на то, что входное излучение (34) и его фототок в этом случае не содержат четных гармоник.

В частности, при n = 1 имеем следующее выражение для комплексной амплитуды фототока

I(ωm) = –R(P0/2)sin(πu0)J1(πucosθ). (38)

Сравнивая этот фототок с соответствующим фототоком, вызываемым входным излучением (при L = 0), получаем передаточную функцию сигнала

H(ωm, L) = J1(πucosθ)/J1(πu). (39)

по волокну длиной L на частоте модуляции ωm.

Fig. 5. Plot of the intensity modulation response of an analog fiber-optic link with external modulation of laser light intensity and direct detection of the optical signal.
Рис. 5. Расчетная частотная характеристика аналоговой ВОЛС с внешней модуляцией интенсивности света лазера и прямым детектированием фототока излучения на выходе из оптоволокна.

 Модуль передаточной функции определяет амплитуду сигнала фотодетектора на выходе их волокна. В интересующей нас области πu < 1 модуль передаточной функции (39) не превышает единицу. Функция H(ωm, L) обращается в ноль при cosθ = 0 и, следовательно, сигналы с частотами, определяемыми из условия θ = π/2 + lπ, где l= 0, 1, 2, 3..., имеют на выходе из волокна амплитуду равную нулю. При |cosθ| = 1 модуль передаточной функции (39) достигает максимума равного единице и, таким образом, при θ = lπ с l= 0, 1, 2, 3... амплитуды сигнала фототока, вызываемого излучением на входе и на выходе из волокна, будут равны друг другу (без учета затухания в волокне).

Зависимость 10lg|H(ωm,L)|2 (то есть, функция |H(ωm,L)|2(39), выраженная в децибелах) от частоты модуляции fm = ωm/2π представляет собой частотную характеристику рассматриваемой аналоговой ВОЛС. На рис. 5 показан типичный расчетный вид такой характеристики в области малых амплитуд модуляции πu < 1 для волокна длиной L = 25 км с коэффициентом дисперсии D = 17 пс/(нм км). Длине волны излучения лазера 1550 нм соответствует частота f0 = ω0/2π = 193.414 ТГц.

3.3. Нелинейные искажения сигнала

Исходный сигнал модуляции напряжения (33) является гармоническим электрическим сигналом на частоте ωm. Он подвергается нелинейным искажениям уже на этапе преобразования в оптический сигнал. И хотя выбором квадратурной рабочей точки модулятора можно устранить вклад всех четных гармоник частоты ωm, а ограничением πu < 1 на амплитуду модуляции можно значительно уменьшить вклад высших нечетных гармоник, тем не менее, нелинейные искажения оказываются принципиально неустранимыми.

При транспортировке оптического сигнала по волокну появляются дополнительные нелинейные искажения, обусловленные дисперсией групповой скорости электромагнитных волн. Такие искажения не связаны с мощностью передаваемого сигнала и имеют место даже при малых интенсивностях лазерного излучения. Из выражения (37) видно, что фототок приемника излучения на выходе из оптоволокна содержит как четные, так и нечетные гармоники основной частоты ωm, даже если, входное излучение не содержит четных гармоник. Однако, при правильном выборе параметра транспортировки θ (12), когда |cosθ| = 1 и модуль передаточной функции (39) достигает максимума, равного единице, четные гармоники исчезают, а амплитуды нечетных гармоник на входе (34) и на выходе (37) из волокна совпадают. Таким образом, в этом случае нелинейные искажения выходного сигнала целиком определяются свойствами модулятора. При других значениях параметра транспортировки θ четные гармоники в выходном излучении не только присутствуют, но и могут давать основной вклад в нелинейные искажения сигнала.

4. ЭКСПЕРИМЕНТ

Fig. 6. A block diagram of the stand for measuring the intensity modulation response of analog fiber-optic links of different length.
Рис. 6. Блок-схема стенда для измерения частотной характеристики ВОЛС.

 Блок-схема стенда для измерения частотной характеристики ВОЛС в СВЧ диапазоне передачи аналогового сигнала модуляции интенсивности представлена на рис. 6. На этой схеме: 1 – анализатор цепей Agilent N5244A, 2 – одночастотный InGaAsP лазер NLKC5EBKA с длиной волны излучения 1550 нм, 3 – фотоприемник U2t, XPDV2150R с полосой приема до 50 ГГц, 4 – стандартный оптический одномодовый кабель длиной 1 м, 5 – набор катушек с оптоволоконным кабелем различной длины. Порядок работы состоит в следующем. Выход лазера 2 соединяется волоконным кабелем 4 со входом фотоприемника 3 и на экране анализатора 1 визуально определяется максимальный частотный диапазон без видимых шумов и резких изломов частотной характеристики. В этом диапазоне (в нашем случае 10МГц – 35ГГц) коэффициент передачи нормируется на единицу. Затем кабель 4 заменяется одной из набора исследуемых катушек оптоволоконного кабеля и на экране анализатора получаем частотную характеристику ВОЛС. При исследовании достаточно длинных линий можно увидеть пропадание сигнала на верхних частотах модуляции. В таких случаях нужно увеличивать время развертки на экране анализатора.

Выходная мощность лазера 2 не должна превышать величину 5-7 дБм из-за опасности возникновения в волокне стимулированного обратного рассеяния света (рассеяния Мандельштама-Бриллюэна) и искажения результатов измерений.

Полученные частотные характеристики при прямой модуляции интенсивности излучения лазера показаны на рис. 7 и представляют собой зависимость от частоты модуляции fm отношения (выраженного в децибелах) мощности сигнала на выходе из волокна к мощности входного сигнала для нескольких бухт стандартного одномодового оптоволокна с коэффициентом дисперсии D = 17 пс/(нм км).

Fig. 7. The intensity modulation response of several directly modulated analog fiber-optic links of different length.
Рис. 7. Экспериментальная частотная характеристика нескольких ВОЛС с использованием стандартного одномодового оптоволокна различной протяженности и одночастотного лазера с длиной волны излучения 1550 нм. Коэффициент дисперсии волокна D= 17 пс/(нм км).

Результаты экспериментального исследования нелинейных искажений сигнала представлены на рис. 8, 9. Использовались два разных источника излучения. Первый источник это одночастотный лазер с внешним электрооптическим модулятором, не стабилизированным в квадратурной рабочей точке (на рис. 8, 9 обозначен как L340), выходное излучение которого не имеет частотного чирпа. Второй источник представляет собой одночастотный лазер, встроенный в анализатор Agilent N4373A (на рис. 8, 9 обозначен как N43), с прямой токовой модуляцией интенсивности и частотным чирпом излучения. Лазеры имеют длину волны излучения 1550 нм.

Источники излучения поочередно подключались к модулирующему сигналу 2.2 ГГц (для этого использовался анализатор Agilent Е5071В с объемным СВЧ фильтром для подавления собственных гармоник). Оптический сигнал подавался либо непосредственно на фотоприемник Agilent N4373A, либо через бухту волокна Corning длиной 25266 м (бухта AD-1). Относительная мощность 2-й (рис. 8) и 3-й (рис. 9) гармоник в выходном сигнале фотоприемника измерялась на анализаторе спектра Agilent Е4404В в режиме сегментированной развертки. Как видно из рис. 8, 9 при использовании лазера L340 с внешним электрооптическим модулятором, включение в оптическую цепь волоконной бухты практически не приводит к изменению относительной мощности гармоник выходного излучения. При использовании же лазера N43 с прямой модуляцией интенсивности относительные мощности (по отношению к мощности несущей волны) 2-й и 3-й гармоник возрастают на 34 и 36 дБн, соответственно, и этот прирост не зависит от мощности модулирующего сигнала.

Рис. 8. Нелинейные искажения сигнала. Зависимость относительной мощности второй гармоники от мощности сигнала модуляции.

 

Рис. 9. Нелинейные искажения сигнала. Зависимость относительной мощности третьей гармоники от мощности сигнала модуляции.

 

5. ОБСУЖДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Сравнение рис. 2 и 7 демонстрирует качественное согласие между экспериментальной и теоретической частотной характеристикой аналоговой ВОЛС с прямой модуляцией интенсивности излучения лазера. Для корректного количественного сравнения теории и эксперимента необходимо знать параметры чирпа лазерного источника. К сожалению, производители лазеров не указывают этих параметров. Мы будем опираться на данные работы [25] для одночастотных InGaAsP лазеров с длиной волны λ0 = 1550 нм с прямой токовой модуляцией интенсивности излучения: α = 2.8 ± 0.2 и k = (11.4 ± 0.5) с-1мВт-1 (при мощности излучения P0 = 1мВт это дает fc = kP0/2π = 1.8 ГГц).

Сделаем оценку параметров частотного чирпа лазерного источника, используемого в нашем эксперименте. Для определения фактора Генри воспользуемся результатом, полученным из формулы (21) для частот экстремумов мощности выходного сигнала

(40)

где l= 1, 2, 3..., причем при нечетных lбудут минимумы, а при четных lмаксимумы. Из рис. 7 видно, что провалы мощности сигнала наблюдаются при частотах fm = 12.2 ГГц для длины волокна L = 5570 м, глубина провала –17.5 дБ; fm = 16.3 ГГц для длины волокна L = 2781 м, глубина провала –21.0 дБ; fm = 23.5 ГГц для длины волокна L = 1386 м, глубина провала –28.5 дБ. Широкий максимум мощности сигнала наблюдается в области 28.0÷28.2 ГГц для длины волокна L = 5570 м, увеличение мощности сигнала составляет +7.5 дБ. Требование наилучшего численного совпадения результатов расчетов по формуле (40) и указанных экспериментальных данных приводит к оценке α = 2.9.

Используя полученное значение фактора α, можно оценить характеристическую частоту fc адиабатического чирпа путем сравнения теоретических значений минимумов (22) и максимумов (23) передаточной функции сигнала с указанными выше экспериментальными значениями. Наилучшее совпадение расчетных и экспериментальных данных дает величина fc = ωc/2π =1.7 ГГц. Полученные оценки говорят о хорошем количественном согласии теории и эксперимента.

Экспериментальные результаты исследования нелинейных искажений сигнала фототока, представленные на рис. 8 и 9, также согласуются с теоретическими выводами разделов 2.4 и 3.3. Действительно, при прямой токовой модуляции лазера N43 (с чирпом) относительные мощности 2-й и 3-й гармоник излучения чрезвычайно малы и составляют менее –55 дБн и –70 дБн, соответственно. Практически, лазер работает как линейный преобразователь электрического сигнала в оптический. Напомним, что при теоретическом рассмотрении мы пренебрегали нелинейностью ватт-амперной характеристики лазера в области рабочих токов смещения и считали, что его выходное излучение будет модулировано по гармоническому закону (2). После транспортировки оптического сигнала по волокну протяженностью 25266 м мощности 2-й и 3-й гармоник значительно возрастают – на 34 и 36 дБн, соответственно, и этот прирост не зависит от мощности модулирующего сигнала. Последнее говорит о дисперсионной природе нелинейных искажений, наличие которых не связано с мощностью транслируемого сигнала. Таким образом, нелинейные искажения сигналов в аналоговых системах с прямой модуляцией интенсивности излучения обусловлены, в основном, дисперсией оптоволокна и эффектом частотного чирпа лазерного излучения.

При использовании же лазера L340 с внешним электрооптическим модулятором (без чирпа), включение в оптическую цепь волоконной бухты длиной 25266 м практически не приводит к изменению относительных мощностей гармоник выходного излучения. Это согласуется с формулами (37) и (34). Действительно, из графика на рис. 5 видно, что при частоте модуляции 2.2 ГГц модуль передаточной функции (39) близок к единице и, следовательно, cosθ ≈ 1. Поэтому, амплитуды второй и третьей гармоник излучения на выходе из оптоволокна (пропорциональные J2(πucos2θ) и J3(πucos3θ), соответственно), будут близки к амплитудам этих гармоник излучения на входе в волокно (пропорциональным J2(πu) и J3(πu)). Таким образом, нелинейные искажения сигналов в аналоговых системах с внешней модуляцией интенсивности излучения (без чирпа) обусловлены, главным образом, собственной нелинейностью электрооптического модулятора (в области максимальных коэффициентов передачи сигнала).

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе представлены экспериментальные и теоретические результаты исследования передачи сигналов в аналоговых ВОЛС с прямой или внешней СВЧ модуляцией интенсивности света лазера и прямым детектированием оптического сигнала с помощью фотодиода на выходе из оптоволокна. Экспериментально определены частотные характеристики для нескольких ВОЛС различной протяженности с прямой модуляцией интенсивности света лазера. Установлено, что выходной сигнал обнаруживает либо подавление, либо увеличение мощности при определенных частотах модуляции. Получены простые аналитические выражения для частот сигналов с минимальной или c максимальной мощностью на выходе из волокна заданной длины.

Выполнен расчет частотной характеристики аналоговой ВОЛС с внешней модуляцией интенсивности лазерного излучения. Получены простые аналитические выражения для определения областей частот модуляции с максимальным или минимальным коэффициентом передачи сигнала.

Экспериментально и теоретически исследованы дисперсионные нелинейные искажения сигнала фототока приемника излучения на выходе из волокна. Для ВОЛС с прямой модуляцией интенсивности лазерного излучения установлено, что основной причиной нелинейных искажений является совместное действие эффекта дисперсии групповой скорости электромагнитных волн в оптоволокне и эффекта частотного чирпа лазерного излучения. Получены простые аналитические выражения для частот, при которых не будет дисперсионных нелинейных искажений исходного гармонического сигнала (в первом порядке по глубине модуляции m). Получены также простые аналитические выражения для частот, при которых в выходном сигнале фототока приемника излучения пропадают вторая или третья гармоники (в первом порядке по глубине модуляции m), то есть те гармоники, которые обычно вносят основной вклад в нелинейные дисперсионные искажения.

Показано, что при внешней модуляции интенсивности лазерного излучения (без чирпа), использование диспергирующего волокна может привести к появлению нелинейных искажений, дополнительных к собственным нелинейным искажениям модулятора. Однако в области максимального коэффициента передачи сигнала нелинейные искажения будут обусловлены, главным образом, нелинейностью электрооптического модулятора.

Теоретические расчеты хорошо согласуются с результатами эксперимента и будут полезны для инженерного проектирования аналоговых ВОЛС.

ЛИТЕРАТУРА

1. Meslener GJ. Chromatic dispersion induced distortion of modulated monochromatic light employing direct detection. IEEE J. Quantum Electron., 1984, 20(10):1208-1216.

2. Wang J, Petermann K. Small signal analysis for dispersive optical fiber communication systems. Journal of Lightwave Technology, 1992, 10(1):96-100.

3. Schmuck H. Comparison of optical millimetre-wave system concepts with regard to chromatic dispersion. Electronics Letters, 1995, 31(21):1848-1849.

4. Gliese U, Norskov S, Nielsen TN. Chromatic dispersion in fiber-optic microwave and millimeter-wave links. IEEE Transactions on microwave theory and techniques, 1996, 44(10):1716-1724.

5. Park J, Sorin WV, Lau KY. Elimination of the fibre chromatic dispersion penalty on 1550 nm millimetre-wave optical transmission. Electronics Letters, 1997, 33(6):512-512.

6. Smith GH, Novak D, Ahmed Z. Overcoming chromatic-dispersion effects in fiber-wireless systems incorporating external modulators. IEEE Transactions on microwave theory and techniques, 1997, 45(8):1410-1415.

7. Wake D, Lima CR, Davies PA. Optical generation of millimeter-wave signals for fiber-radio systems using a dual-mode DFB semiconductor laser. IEEE Transactions on microwave theory and techniques, 1995, 43(9):2270-2276.

8. Hofstetter R, Schmuck H, Heidemann R. Dispersion effects in optical millimeter-wave systems using self-heterodyne method for transport and generation. IEEE Transactions on microwave theory and techniques, 1995, 43(9):2263-2269.

9. Agrawal GP. Nonlinear Fiber Optics. New York, Academic Press, 2013, 648 p.

10. Koch TL, Bowers JE. Nature of wavelength chirping in directly modulated semiconductor lasers. Electronics Letters, 1984, 20(25):1038-1041.

11. Agrawal GP, Dutta NK. Long-wavelength Semiconductor Lasers. Boston, Kluwer Academic Publishers, 2013, 616 p.

12. Petermann K. Laser Diode Modulation and Noise. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1991, 315 p.

13. Hilt A, Udvary E, Berceli T. Harmonic distortion in dispersive fiber–optical transmission of microwave signals. Proceedings of International Topical Meeting on Microwave Photonics (Budapest, Hungary, 2003), p. 151-154.

14. Peral E, Yariv A. Large-signal theory of the effect of dispersive propagation on the intensity modulation response of semiconductor lasers. Journal of Lightwave Technology, 2000, 18(1):84-89.

15. Bateman H, Erdelyi A. Higher Transcendental functions, v. 2. New York, Mc Graw-Hill book company, 1953, 292 p.

16. Bjerkan L, Royset A, Hafskjaer L, Myhre D. Measurement of laser parameters for simulation of high-speed fiberoptic systems. Journal of Lightwave Technology, 1996, 14(5):839-850.

17. Royset A, Bjerkan L, Myhre D, Hafskjaer L. Use of dispersive optical fiber for characterization of chirp in semiconductor lasers. Electron. Lett., 1994, 30(9):710-712.

18. Srinivasan RC, Cartledge JC. On using fiber transfer functions to characterize laser chirp and fiber dispersion. IEEE Photon. Technol. Lett., 1995, 7(11):1327-1329.

19. Saleh BEA, Teich MC. Fundamentals of photonics. New York, John Wiley & Sons Inc., 1991, 947 p.

20. Koyama F, Iga K. Frequency chirping in external modulators. Journal of Lightwave Technology, 1988, 6(1):87-93.

21. Provost J-G, Grillot F. Measuring the chirp and the linewidth enhancement factor of optoelectronic devices with a Mach–Zehnder interferometer. IEEE Photonics Journal, 2011, 3(3):476-487.

22. Zi-hang Zhu, Shang-hong Zhao, Zhou-shi Yao, Qing-gui Tan, Yong-jun Li, Xing-chun Chu, Xiang Wang, Gu-hao Zhao. Nonlinearity modelling of an on-board microwave photonics system based on Mach-Zehnder modulator. Optoelectronics Letters, 2012, 8(6):441-444.

23. Yejun Fu, Xiupu Zhang, Bouchaib Hraimel, Taijun Liu, Dongya Shen. Mach-Zehnder: a review of bias control techniques for Mach-Zehnder modulators in photonic analog links. IEEE Microwave Magazine, 2013, 14(7):102-107.

24. Svarny J. Bias driver of the Mach-Zehnder intensity electro-optic modulator, based on harmonic analysis. Advances in robotics, mechatronics and circuits (Santorini Island, Greece, 2014), p. 184-189.

25. Villafranca A, Lasobras J, Garcés I. Precise characterization of the frequency chirp in directly modulated DFB lasers. Proceedings of 6th Spanish Conference on Electronic Devices (San Lorenzo de El Escorial, Madrid, Spain 2007),